토너먼트와 리그전의 경기수
매월 둘째, 넷째 월요일

[대구=내외뉴스통신] 서월선 기자 = “모두 n개의 팀이 경기를 하여 우승팀을 가리려면 토너먼트 방식과 리그전 방식은 각각 몇 번의 경기를 하여야 하는가?”라는 문제를 생각해 보겠습니다. 무승부인 경기는 없습니다.

이 문제를 해결하기 위하여 한 가지 약속(가정)하는 방법을 설명합니다. 이런 기호의 약속은 이 문제를 해결(생각)하는 동안만 유효한 약속입니다. 즉, 같은 기호라도 다른 문제에서는 뜻이 달라진다(질 수 있다)는 것에 유의하여야 합니다.

“n개의 팀이 토너먼트 방식으로 경기를 할 때 총 경기수를 T(n)이라고 하면(n>1)”이라고  선언(가정)을 하면,

2개의 팀이 토너먼트 방식으로 경기를 할 때 총 경기수는 T(2)

3개의 팀이 토너먼트 방식으로 경기를 할 때 총 경기수는 T(3)

n개의 팀이 토너먼트 방식으로 경기를 할 때 총 경기수는 T(n)이 됩니다.

즉 “3개의 팀이 토너먼트 방식으로 경기를 할 때 총 경기수”라는 긴 말을 간단히 “T(3)”로 쓴다는 뜻입니다. 여기에서 n>1이라는 단서는 n=1일 때는 의미가 없으므로 함께 약속한 것입니다. 이런 단서를 어떻게 미리 알고(문제를 풀려고 생각하는 단계에서) 가정에 포함시키는 지 궁금할 것입니다. 실제로 이런 단서는 문제를 해결하는 과정에서 생각하거나 모두 해결한 후에 답안에 추가 하는 경우가 더 많습니다. 처음부터 생각을 할 수 있으면 행운이거나 연습의 결과입니다. 사실 이런 것들이 모범답안의 비밀이고, 모범답안을 읽고도 바로 이해하기 어려운 이유이기도 합니다. 모범답은 나중에 정리한 결과이니까요.

토너먼트 방식은 경기를 거듭할 때마다 진 편은 제외시키면서 이긴 편끼리 겨루어 최후에 남은 두 편으로 우승을 가립니다. 우리 말로 ‘승자 진출전’이라고 합니다.

어떤 문제이든 구체적인 사례로 접근하여 규칙을 찾는 방법을 우선하여 결론을 유추한 후 더 좋은 방법을 찾는 것이 좋습니다.

① n개의 팀이 토너먼트 방식으로 경기를 할 때 총 경기수를 T(n)이라고 하면(n>1),

2팀일 경우 한 번의 경기에서 우승팀이 나오므로 T(2)=1

3팀일 경우 두 팀의 한 번 경기 승팀과 남은 팀이 경기하면 되므로 T(3)=2

4팀일 경우 두 팀씩 두 경기후 결승전을 하면 되므로 T(4)=3 …

이 결과들로부터 유추하여 T(n)=n-1

그러므로 n개의 팀이 토너먼트 방식으로 경기를 할 때 총 경기수는 n-1이다.

② n개의 팀이 토너먼트 방식으로 경기를 할 때 총 경기수를 T(n)라고 하면(n>1),

T(n)은 n-1팀이 토너먼트 방식으로 경기를 종료한 후 마지막 승자와 한 번 더 경기를 하면 되므로 T(n)=T(n-1)+1(n>2)이다.

즉 T(3)=T(2)+1, T(4)=T(3)+1, T(5)=T(4)+1, … , T(n)=T(n-1)+1

이 n-2개의 등식에서 좌변은 좌변끼리 우변은 우변끼리 더하여(변변더하여) 정리하면

T(n)=T(2)+n-2=n-1

그러므로 n개의 팀이 토너먼트 방식으로 경기를 할 때 총 경기수는 n-1이다.

③ 매 경기마다 지는 한 팀이 생기고 n-1개의 진 팀이 생기면 우승자가 가려지므로 총 경기수는 n-1이다.

 

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