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[대구=내외뉴스통신] 서월선 기자 = 분수의 계산에서 약분을 할 때는 최대공약수로 나누어 주고, 통분을 할 때는 분모의 최소공배수가 되도록 만들어 주어야 합니다. 이때 필요한 최대공약수(GCM)와 최소공배수(LCM)를 구하는 법을 알아봅니다.

약수가 2개인 자연수 2, 3, 5, 7, 11, … 등을 소수(소수점이 있는 3.14 등 소수와 다름)라 하고 약수가 3개 이상인 자연수 4, 6, 8, 9 ,… 등을 합성수라 합니다. 그러므로 1은 약수가 자신인 1밖에 없으므로 소수도 합성수도 아닌 자연수입니다. 합성수를 소수인 약수(소인수라 함)의 곱으로 나타내는 것을 “소인수 분해”라고 합니다. 소인수 분해의 예를 들면,

4=22, 6=2×3, 8=23, 9=32, 10=2×5, 12=22×3, 14=2×7, 15=3×5, …

와 같습니다. 즉, 작은 수부터 큰 수의 순서로 소수인 약수의 거듭제곱의 곱으로 나타냅니다. 그러므로 소인수분해를 할 때는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …의 차례로 더 이상 나누어지는 소수가 없을 때까지 나누어 보아야 합니다만 제곱을 하여 대상인 수 보다 작지 않은 수가 되면 더 이상 큰 소인수가 없다는 사실이 확인되어 있습니다.

합성수 72의 약수와 배수를 구하여 봅니다. 72를 소인수 분해하면 23×32이므로

① 약수

72의 소인수는 2, 3의 두 가지이고 72의 약수는 72를 나누어떨어지게 하는 수이므로 2는 최대 3개, 3은 최대 2개를 1과 사용하여 곱하는 수(최대 개수를 넘거나 다른 인수를 사용한 수로는 나눌 수 없음)이므로 다음과 같이 구하면 편리합니다.

72의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 32, 72의 12개

② 배수

72의 소인수는 2, 3의 두 가지이고 72의 배수는 72로 나누어떨어지는 수이므로 2는 최소 3개, 3은 최소 2개를 1과 사용하여 곱하는 수(최소 개수에 모자라면 배수가 될 수 없음)이므로 72의 배수는

23×32×1, 23×32×2, 23×32×3, … 즉, 72, 144, 216, …으로 무수히 많습니다.

합성수 72와 300의 최대공약수와 최소공배수를 구하여 봅니다. 두 수를 소인수 분해하면

72=23×32, 300=22×3×52이므로

③ 최대공약수

72와 300의 공약수는 72와 300을 모두 나누어떨어지게 하는 수이므로 2는 최대 2개, 3은 최대 1개를 1과 사용하여 곱하는 수(최대 개수를 넘거나 공통이 아닌 다른 인수를 사용한 수로는 나눌 수 없음)이므로 최대공약수는 22×3 =12이다.

④ 최소공배수

72와 300의 공배수는 72와 300으로 모두 나누어떨어지는 수이므로 2는 최소 3개, 3은 최소 2개, 5는 최소 2개를 1과 사용하여 곱하는 수(최소 개수에 모자라면 공배수가 될 수 없음)이므로 최소공배수는 23×32×52 =1800이다.

 

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