[대구=내외뉴스통신] 서월선 기자 = “같은 수를 곱하는 것을 제곱이라 하고, a의 제곱 aⅹa를 a²으로 표현합니다.”라고 한 적이 있습니다. 이와 같이 같은 수 a를 m개 곱한 수를 a^m이라고 쓰며 a의 m제곱이라고 읽습니다. 통틀어 거듭제곱이라 하며 m을 지수, 문자식에서는 a^m을 m차항이라고 부릅니다.

이제 x와 x² 및 이들의 사칙계산에 대하여 알아봅니다. 만약 x가 가 길이라면 x²은 한 변의 길이가 x인 정사각형의 넓이가 됩니다. 이 때 x²－x는 넓이에서 길이를 뺀 것이므로 결과를 하나로 정리할 수 없습니다. 즉 차수가 같은 항(동류항)이 아니면 덧셈과 뺄셈은 의미가 없고 곱셈과 나눗셈만 가능합니다. 

이므로 3x²은 3개의 x²(x²을 3개 더한 것)으로 생각하면 편리합니다.

제곱과는 반대개념인 “제곱을 하여 a가 되는 수( a의 제곱근)”를 찾아봅시다. 즉 x²=a가 되는 x를 a의 제곱근이라 부릅니다. 같은 부호인 수의 곱은 양수이고 0²=0이므로 a는 음이 아닌 수(0이상인 수)라야 됩니다. 더욱이 0의 제곱근은 0 하나이지만 양수 a의 제곱근은 양수와 음수 각 하나씩 두 개가 있고, 

로 나타낼 수 있습니다. 예를 들어 제곱을 하여 4가 되는 수(4의 제곱근)은 2와 –2( ±2라고 간편하게 쓸 수 있음)이지만 4의 제곱근 중

로 쓸 수 있습니다. 그러므로

라는 의미입니다. 따라서

는 “제곱을 하여 a가 되는 양수”로 기억하면 편리합니다.

와 같이 어떤 양수의 제곱근은 분수로 나타낼 수 없다는 사실이 알려져 있습니다. 이와 같이 분수로 표현할 수 없는 수를 무리수라고 합니다. 상대적으로 지금까지 이야기 해왔던 분수로 표현가능한 수는 유리수라고 부릅니다.

유리수끼리는 사칙연산의 결과가 항상 하나의 유리수가 되어 자유롭게 계산을 할 수 있습니다만 무리수는 그렇지 않을 수 있습니다. 예를 들어 두 무리수

을 더할 수는 있지만 그 결과를

로 쓸 뿐이지 하나의 유리수 또는 하나의 유리수와 무리수의 곱으로 표현할 수가 없습니다. 3의 제곱근으로 같은 종류인 제곱근끼리의 합

으로 하나의 유리수와 무리수의 곱으로 표현됩니다.

로 나타낼 뿐입니다. 결국 제곱근의 계산은

등으로 생각하고 문자식의 사칙계산과 같이 하면 됩니다. 먼저 분모의 유리화(제곱근 등인 분모를 유리수로 고치는 일)가 필요할 수도 있습니다. 이 때 다음의 두 가지 제곱근의 성질을 이용합니다.

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