[대구=내외뉴스통신] 서월선 기자 = 그리스 명시선집이란 책에 다음과 같은 묘비명이 나온다고 합니다.

“보라! 디오판투스는 그의 생애의 1/6을 소년으로 보냈고 1/12을 청년으로 보냈으며 그 뒤 1/7이 지나서 결혼하였다. 결혼한 지 5년 뒤에 아들을 낳았고 그 아들은 아버지의 나이의 꼭 반을 살다 죽었고 아들이 죽은 지 4년이 지나 세상을 떠났다. 디오판투스는 몇 살까지 살았는가?”

과연 수학자다운 묘비를 가지고 있습니다. 그런데 이 문제의 답도 디오판투스가 최초로 제안한, 모르는 수를 x로 놓고 찾아내면 쉽게 알아낼 수 있습니다. 그의 방법대로 식을 세워 x를 풀면, 답은 84입니다.

이 예처럼 어떤 한 문자에 관한 일차식(만)을 포함한 방정식(항상 참이 아닌 식)을 일차방정식이라고 합니다. 여러 예를 들고 푸는 방법을 생각해 보겠습니다.

⓵식은 x가 5와 같다는 등식이므로 바로 x의 값을 알 수 있습니다. ⓶~⓼식은 ⓵식과 달리 즉시 x의 값을 알 수는 없습니다. ⓶~⓼식을 등식의 성질을 이용하여 ⓵식처럼 만드는 일을 “방정식을 푼다”고 합니다. ⓵식처럼 만드는 일이란 “좌변에는 계수가 1인 문자만 있고 우변은 수만 있도록 만듦”을 의미합니다. 물론 좌변과 우변의 역할이 바뀌어도( 5=x ) 되고 좌변에 문자항을 우변에 상수항을 모으는 것과 계수를 1로 만드는 일의 순서도 정해진 순서는 없습니다. 먼저 “이항”을 이해한 후에 구체적 풀이법을 설명합니다.

예를 들어 등식 2x-3=7의 양변에 3을 더하여 보면, 2x-3+3=7+3이 됩니다. 이제 좌변을 계산하면 2x=7+3이 되어 처음 식과 비교하면 좌변의 2x와 우변의 7은 변함이 없고 좌변의 –3이 우변으로 옮겨 와 +3으로 바뀐 것으로 보입니다. 이와같이 식의 어떤 항을 좌변에서 우변으로 또는 우변에서 좌변으로 옮길 때 부호를 바꾸어서 옮기는 것을 “이항” 또는 “이항한다”고 합니다. 이제 위 ⓶~⓼ 일차방정식을 풀어 보겠습니다. 모든 일차방정식은 ②,⓷,④,⓹번 중 하나의 형태로 만든 후 ⓵번 식으로 변형하면 됩니다. 실제 풀이에서는 먼저 문자항은 좌변으로 상수항은 우변으로 이항하여 ④,⓹번 중 하나로 유도한 후 ⓵번으로 종료합니다. 꼭 ②,⓷식으로 먼저 변형하고 싶으면 문자항만 모은 후 그 계수로 양변을 나누어 주면 되지만 효율성이 떨어집니다.

끝으로 아래의 디오판토스의 방정식

를 풀어 봅시다. 

먼저 계수에 분수가 포함되어 불편하므로 정수로 만들기 위해 방정식의 양변에 6, 12, 7, 2의 최소공배수인 84를 곱하면,

문자항을 좌변으로 상수항은 우변으로 이항하여 정리하면 다음과 같다.

 

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