[대구=내외뉴스통신] 서월선 기자 = 이차방정식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리한 ax² + bx + c = 0(a≠0, a,b,c = 상수)를 이차방정식의 일반형이라고 부릅니다. 이 방정식을 풀어 봅니다. 즉 근의 공식을 만들어 보겠습니다. 직접 수 계산이 아니라서 이해가 어려운 분은 근의 공식이 만들어 지는 과정과 이차방정식을 푸는 과정이 동일하다는 사실만 알고 넘어가시면 됩니다.

지난 시간 마지막 부분에서 언급되었던 과정을 적용하겠습니다.

㉮ 문자항을 좌변으로 상수항은 우변으로 이항한다.

ax² + bx = -c

㉯ 양변에

을 더한다.

㉰ 완전제곱식의 형태로 만들어 방정식을 푼다.

완전제곱식으로 만들면

이다. 

제곱근을 구하면

이 결과에 의하여 이차방정식 ax² + bx + c = 0(a≠0, a,b,c = 상수)의 근 x는

(근의 공식)이고, 더욱이

x는 유리수가 되므로, 우리는 D = b² -4ac 를 이차방정식 ax² + bx + c = 0 의 판별식이라 약속하고, 이 값이 음이 아니면 실수인 근을 가지고 유리수의 제곱수이면 유리수인 근을 가진다고 판단하게 됩니다. 사실 이 값이 유리수의 제곱수인 경우에만 이차식 ax² + bx + c 를 두 일차식의 곱으로 나타낼 수 (인수분해할 수) 있게 됩니다.

여기서 이차방정식 10x² -7x -24 = x² +23x +51를 인수분해를 이용하여 풀어 봅니다.

모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하면 9x² -30x -75=0,

양변을 3으로 나누어 3x² -10x -25=0, 판별식 D = (-10)² -4 × 3 × (-25) = 400 = 20² 이므로 방정식의 좌변은 인수분해가 가능한 식으로 판단할 수 있습니다. 좌변을 이차항 계수와 상수항의 가능한 모든 곱의 조합인 두 일차식의 곱으로 만들어 보면,

(3x - 1)( x + 25) = 0, (3x +1)(x - 25) = 0, (3x + 5)(x - 5) = 0, (3x - 5)(x + 5) = 0, (x - 1)(3x + 25) = 0, (x + 1)(3x - 25) = 0 이 되고,

이 중 곱셈공식 (a + b)(c + d) = ac + ad +bc + bd를 이용하여 일차항 계수가 –10인 것은 (3x + 5)(x - 5) = 0 이므로 정리하면 아래와 같습니다.

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